LOGARITMACIÓN

Profesora Dora Liliana - GIDELPA

LOGARITMACIÓN

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Se define logaritmo como el exponente de una potencia con cierta base, es decir, el número al cual se debe elevar una base dada para obtener un resultado determinado.
 

Ejemplo

5⁰ = 1
5¹ = 5
5² = 25
5³ = 125, etc.

Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe log₅ 1) es 0, por que 0 es el exponente al que hay que elevar la base 5  para que dé 1; el log₅ 5 es 1; el log₅ 25 es 2, el log₅ 125 es 3, etc.

- No existe el logaritmo de los números negativos.

- El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión log_b a, siempre, por definición, a ∈ R⁺ y  b ∈ R⁺ – {1}.

- La expresión log_b a , se lee como: “logaritmo de a en base b”.
 

Volvamos a la definición de logaritmo: “exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado”.Si lo escribiera como ecuación, corresponde a resolver log_b a = x, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos.

Ejemplo

- Calcula el valor de log₇ 343. Esto equivale a resolver la ecuación:

log₇ 343 = x

Entonces, ya que la base del logaritmo es 7, el exponente no se conoce y 343 es el argumento, es decir, el valor de la potencia, se puede escribir:

7^x =343

7^x = 7³

luego, igualando los exponentes, se concluye que

x= 3

Luego, log₇ 343 = 3

Ejemplo

- Calcula el valor de log_0,7 0,343. Esto equivale a resolver la ecuación:

log_0,7 0,343 = x

Luego:

0,7^x = 0,343

0,7^x = (0,7)³

Luego, igualando exponentes tenemos:

x=3

log_0,7 0,343 =  3

Para una definición más completa de logaritmos, se determinarán restricciones respecto de su base y su argumento.

 

2- Propiedades

2.1- Logaritmo de la unidad

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

log_b (1) = 0 ;  con b ≠ 1,  b > 0

Ejemplo

log₅ (1) = 0    porque     5⁰ =1
log₇ (1) = 0   porque   7⁰ = 1
log₂₀ (1) = 0   ⇔  20⁰ = 1

 

2.2- Logaritmos de la base

El logaritmo de la base es igual a 1.

log_b (b) = 1 ; con b ≠ 1,  b > 0 
 

Ejemplo

log₅ (5) = 1  ⇔ 5¹ = 5

log₆ (6) = 1  ⇔ 6¹ = 6

log₁₂ (12) = 1  ⇔ 12¹ = 12

 

2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.
 

log_b bⁿ = n,  con b ≠ 1,  b > 0

Ejemplo

log₆ 6 ³ = 3

 

2.4- Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log_b (a • c) = log_b a + log_b  c

Ejemplo

log_b (5 • 2) = log_b 5 + log_b 2

 

2.5- Logaritmos de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.
 

 

Ejemplo

 

2.6- Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log_a cⁿ = n log_a c 

Ejemplo

log₃ 10 ²  =  2 log₃ 10

 

2.7- Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.
 

 

Ejemplo

2.8- Cambio de base

 

para todo p, a, b > 0;  b, c ≠ 1

Ejemplo

log₂ 5 = log 5 / log 2

DATO: En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener presente que se cumple en general:

- log_b (p · q) ≠ log_b p · log_b q

- log_b (p + q) ≠ log_b p + log_b q

- log_b (p – q) ≠ log_b p – log_b q

Fuente: https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/35/logaritmos-propiedades
 

ACTIVIDAD

Calcula cada uno de los siguientes logaritmos

a) log₂ 64

b) log₉ 243

c) log₅ 1

d) log₃ 3

e) log₅ 5 ⁷

f) log₈₁ 27

g) log₁₂₈ 1

h) log₆ 6 ³